Lois de probabilités continues

Une loi de probabilité continue se définit à partir d’une fonction de densité : c’est une fonction réelle f définie sur un intervalle \([a;b]\), éventuellement avec des bornes infinies, telle que son intégrale sur tout le domaine fait 1 :

$$\int_a^b f(x) dx = 1$$

Un calcul de probabilité est donc dans ce cas un calcul d’intégrale : si X suit une loi de densité f, alors la probabilité que X varie entre deux valeurs c et d (où [c;d] est un intervalle inclu dans le domaine [a;b]) est

$$P(c<X<d) = \int_c^d f(x) dx$$

On remarque en particulier que \(P(X=c) = 0\), ainsi les inégalités peuvent être strictes ou non sans changer le résultat du calcul.

En Terminale, on étudie les lois usuelles suivantes :

• Loi uniforme sur [a;b] : densité constante \(f(x) = \frac{1}{b-a}\)
• Loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) : densité \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) définie sur \(0;+\infty[\)
• Loi normale centrée réduite \(\mathscr{N}(0,1)\) : densité \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2}\). Les autres lois normales, de moyenne \(\mu\) et écart-type \(\sigma\) se déduisent de cette fonction (hors programme de terminale) et l’allure de la courbe reste la même (en forme de cloche), elle approche une loi binomiale.