Loi exponentielle

Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) si elle admet pour fonction de densité
$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$

Comme pour n’importe quelle loi de probabilité continue, une probabilité se calcule à l’aide d’une intégrale : si a et b sont deux nombres positifs,

$$P(a < X < b) = \int_a^b \lambda e^{-\lambda x} dx = -e^{-b} + e^{-a}$$

En faisant tendre b vers l’infini, on peut aussi calculer que
$$P(X > a) = e^{-a}$$

Une loi exponentielle a la propriété d’être sans vieillissement ou sans mémoire  : elle sert notamment à modéliser un temps d’attente, ou encore la durée de vie d’un composant électronique. Concrètement, cela veut dire que la probabilité d’attendre t minutes ne dépend pas de l’attente déjà effectuée…

L’espérance de vie d’un composant électronique est

$$\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}$$