Intégrale, aire et moyenne

On définit l’intégrale d’une fonction continue \(f\) sur un intervalle \([a;b]\) par

$$\int_a^b f(t) dt = F(b)-F(a)$$

où \(F\) est une primitive de la fonction \(f\), ce qui signifie que \(F’=f\).

Cette intégrale désigne l’aire algébrique (celle-ci peut être négative) du domaine délimité par la courbe représentative de \(f\) et l’axe des abscisses.

En faisant varier la borne d’intégration \(b\), on définit ainsi une fonction aire :

$$\mathscr{A}(x) = \int_a^x f(t)dt$$

dont observe les variations dans l’exemple ci-dessous en faisant varier le point d’abscisse \(b\).

On observera également la représentation géométrique de la moyenne d’une fonction définie par

$$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt$$

1. Lorsque b varie dans l’intervalle où \(f(b)>0\), que dire des variations de la fonction aire ?
2. Conjecturer un lien entre le signe de f et les variations de la fonction aire.